Explications :

À la fin de la journée, un lustre reste allumé si l’interrupteur correspondant a été actionné un nombre pair de fois.

Le nombre total de fois qu’un interrupteur est actionné, est égal au nombre de diviseurs de son numéro. Par exemple le nombre 20 a pour diviseurs 1, 2, 4, 5, 10 et 20 et l’interrupteur numéro 20 est actionné au 1er passage ainsi qu’aux passages 2, 4, 5, 10 et enfin au 20ième passage. Cela fait 6 actions et la lampe est donc allumée à la fin.

Étant donné un nombre entier n, si d est un diviseur de n, alors n/d est aussi un diviseur de n. En outre, il est distinct de d, sauf lorsque n= d². Ainsi lorsqu’un nombre est un carré, il a un nombre impair de diviseur. Dans le cas contraire le nombre de diviseur est pair.*

Le nombre de lustres qui sont éteints à la fin est donc le nombre de nombres entiers compris entre 1 et 150 et qui sont des carrés. Comme 12×12 = 144 et 13×13 > 150, il y a 12 carrés entre 1 et 150. Il reste donc 150−12 = 138 lustres allumés.

(*) Voici une autre façon de le voir si on connaît la factorisation en nombre premiers. Si n = p₁^a₁…p_k^a_k alors les diviseurs de n sont les nombres p₁^b₁…p₁^b_k avec b_i ≤ a_i pour tout i. On a donc (a₁+1) × … × (a_k+1) possibilités. Ce nombre est impair ssi tous les a_i sont pairs, ssi n est un carré.