Solution du défi
Choisis l'énigme dont tu veux voir une solution.Explications :
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S'il y avait 1 dans l'hexagone, le cercle violet de gauche aurait la valeur 10, mais dans l'énoncé, on nous dit également que les boules portent des nombres différents et comme 10 est déjà présent dans le cercle bleu, il ne peut pas apparaître dans le cercle violet. Il y a donc 5 dans l'hexagone, et donc 2 dans le cercle violet et 1 dans le cœur.
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Explications :
La salle de bain et la chambre n°1 ont une largeur en commun : elle mesure 453 cm qui est la seule valeur commune proposée par le lutin architecte. On peut donc assembler la salle de bain et la chambre 1, qui ont ensemble une longueur mesurant 1599 cm.
On en déduit les dimensions de la chambre 2 : sa largeur est la différence entre 20 m et 1599 cm, c’est-à-dire 401 cm, est sa longueur mesure donc 1158 cm. On peut ensuite trouver les dimensions de la cuisine et enfin de l’entrée.
On en déduit les dimensions du salon :
Longueur = 20 m – 401 cm – 356 cm = 1243 cm
Largeur = 15 m – 342 cm – 453 cm = 705 cm
2 × (1243 cm + 705 cm) = 3896 cm
Le périmètre du salon exprimé en cm est égal à 3896.
![](LMES im13-oETmRGxOSz30bt7n.jpeg)
Explications :
Notons \(x_1 < x_2 < ... < x_n\) les \(n\) éléments d’un ensemble de Noël rangés dans l’ordre croissant. La moyenne de tous ces éléments est : \[m = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}.\] La somme de tous les éléments est \[x_1 + x_2 + ... + x_n = m \times n.\] 1) Peut-on avoir une moyenne minimale avec un élément supérieur à 2512 ?
Si \(x_n\) est supérieur à 2512, alors en le supprimant on obtient l’ensemble \(\{x_1; x_2; ...; x_{n-1}\}\) qui est encore un ensemble de Noël et sa moyenne est \[m^{'} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_{n-1}}{n-1}= \frac{m \times n - x_n}{n-1} = \frac{m \times (n-1) +m -x_n}{n-1}= m + \frac{m-x_n}{n-1}.\] Comme \(x_n\) est supérieur à \(x_1, x_2, ...\), il est supérieur à la moyenne \(m\). Donc \(m-x_n\) est négatif et la moyenne \(m^{'}\) trouvée est inférieure à \(m\).
Nécessairement un ensemble de Noël dont la moyenne est minimale a pour plus grand élément 2512.
2) Peut-on avoir une moyenne minimale avec deux éléments \(x_i\) et \(x_{i+1}\) inférieurs à 2512 et non consécutifs ?
Si \(x_i < x_i+1 < x_{i+1}< 2512\), alors en remplaçant \(x_{i+1}\) par \(x_i+1\) dans l'ensemble, on obtient un nouvel ensemble de Noël et une nouvelle moyenne \[m^{'} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n - x_{i+1} + x_i+1}{n}= \frac{m \times n- x_{i+1} + x_i+1}{n} = m + \frac{x_i+1- x_{i+1}}{n}.\] Vu que \(x_i+1- x_{i+1}\) est négatif, la nouvelle moyenne \(m^{'}\) trouvée est inférieure à \(m.\) Nécessairement un ensemble de Noël dont la moyenne est minimale est de la forme \(\{1; 2; ...;p; 2512\}.\)
3) La moyenne de cet ensemble de Noël est \[m=\frac{\frac{p(p+1)}{2}+2512}{p+1} = \frac{p}{2}+\frac{2512}{p+1}.\] On peut rechercher sur tableur la valeur de \(p\) comprise entre 1 et 2512 qui minimise \(\frac{p}{2}+\frac{2512}{p+1}\) ou bien étudier, en fonction de \(p\), le signe de \[\frac{p+1}{2}+\frac{2512}{p+2}-\frac{p}{2}-\frac{2512}{p+1}=\frac{1}{2}-\frac{2512}{(p+1)(p+2)}\] La moyenne de Noël est obtenue pour \(p = 70\) et elle est égale à \(\frac{4997}{71}.\)
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