Solution du défi
Choisis l'énigme dont tu veux voir une solution.
Explications :
Du point A ont été tracées deux tangentes aux cercles. Les points de tangence ont été reliés par un segment, dont on a appelé B l'intersection avec la bissectrice OA du secteur formé par les deux tangentes. La même chose a été faite à partir du point C et on a appelé D le point obtenu.
Méthode 1 : cas particulier
La figure et ses cotes dépendent du choix de la position des points A et C. Comme la réponse attendue est un nombre c'est qu'elle ne doit pas dépendre de ces positions. Si on admet cela, on peut donc regarder un cas particulier et calculer la quantité à déterminer à partir de ce cas, et saisir cette valeur dans le champ de réponse de l'énigme.
- Voici un cas particulier.
- Voici un cas particulier "dégénéré" mais valide aussi :
On prend A et C sur le cercles (mais distincts). Alors B = A et D = C. Du coup OA = OB = OC = OD = r et AC= BD. Et la quantité est \[OA\cdot OB+OC\cdot OD+OA\cdot OC\cdot\frac{BD}{AC}\] \[= r\cdot r+r\cdot r+r\cdot r\cdot 1 = 3r^2.\] Méthode 2 : cas général
Les triangles OEA et OBE sont semblables.
(r : rayon du cercle)
Alors :Explications :
La distance entre le centre du cercle et le sommet de la parabole est l'ordonnée \(b\) du centre du cercle. Soit donc \((0, b)\) les coordonnées du centre du cercle. On recherche la valeur de \(b\).
Méthode 1 :
La petite Juliette et le petit Ugo n'ont pas pris la tangente… et à vrai dire ne savent pas tout à fait ce qu'est une tangente.
Mais bon, ils ont bien compris le défi et des défis d'expérimentation et de construction mathématique, ils adorent ! En créativité, les enfants… ils sont experts !
Donc, d'abord, il faut une calculatrice pour mettre au carré (c.à.d. faire un nombre fois le même nombre), une règle et une feuille pour dessiner la parabole… et un compas et des ciseaux pour découper un cercle de rayon 2.
Puis après, c'est un peu de la mécanique, mais la méca c'est fastoche, ils l'expérimentent tous les jours. Après un travail précis et rigoureux, (ils sont mathématiciens, ne l'oublions pas !), la mesure donne 2,5.
N.B. : Les parents, eux, n'ont pas vu l'abstraction mathématique cachée derrière la photo. Ils sont partis chercher un verre et une bouteille pour faire leur expérimentation exactement comme sur l'image et respecter scrupuleusement l'énoncé. Ça été fatal ! Ils ont débouché la bouteille (c'était trop tentant mais c'est quand même Noël) et n'ont pas résolu le défi. Leur direction de recherche n'était pas la bonne ! (La bouteille ? … Oui, elle était bonne !). Eh oui, la recherche et la résolution de défis, ce n'est pas facile, mais c'est agréable et abordable à tout âge…
Méthode 2 :
On peut obtenir les coordonnées \((x; y)\) du point d’intersection de la parabole et du cercle, dont voici les équations respectives : \[x^2 = 2y\] \[x^2 + (y-b)^2 = 4\] Ensuite en remplaçant \(x^2\) dans la deuxième équation : \[2y + (y-b)^2 = 4\] puis en développant \[2y + (y^2 - 2by + b^2) = 4\] \[y^2 + (2-2b)y + b^2 - 4 = 0\] On ne connait pas \(b\) et c’est la condition de tangence qui va le déterminer. Comme le centre du cercle est sur l'axe, toute la figure est symétrique par réflexion. Le paramètre \(b\) recherché est caractérisé par le fait que le cercle et la parabole n’ont qu’un point en commun à droite de l'axe. Donc au paramètre recherché l'équation quadratique ci-dessus d'inconnue \(y\) a une seule solution et donc son discriminant est nul. \[(2-2b)^2 -4(b^2-4) = 0\] Quand on développe, les termes en \(b^2\) s'élimine et cette équation d'inconnue \(b\) est en fait du premier degré. On trouve \[b = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2{,}5\] \[b=2{,}5\] ce qui donne le résultat recherché.
Méthode 3 :
Au point de tangence, les tangentes au cercle et à la parabole ont la même pente.La pente de la tangente au cercle au point de coordonnées \((x; y)\) est : \[\frac{-x}{y-b}\] La pente de la tangente à la parabole au point de coordonnées \((x; y)\) est : \[x\] On obtient. \[\frac{-x}{y-b} = x\] \[y = b-1\] Et le point de tangence doit être sur le cercle : \[x^2 + (y-b)^2 = 4\] \[x^2 + (-1)^2 = 4\] \[x = \sqrt{3}\] \[y = \frac{1}{2}x^2 = \frac{3}{2}\] \[b = y+1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} = 2{,}5\]
Crédit image : Mónica Soler
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