Surprise du
16 décembre 2023
Autour des suites de Skolem et de Langford
(LA SUITE DE Skolem, T2 Disparitions), de Marek (Illustrations), et Jean-François Kierzkowski (Rédacteur), Pirate(s) Editions, 18 janvier 2017
Une suite de Skolem d’ordre n est une suite de 2n entiers, constituée des entiers de 1 à n répétés chacun deux fois, les deux occurrences d'un entier k étant distantes de k.
Par exemple, 3 5 6 3 8 4 5 7 6 4 1 1 8 2 7 2 est une suite de Skolem d’ordre 8. Un résultat important explique qu’il existe une suite de Skolem d’ordre n si et seulement si le reste de la division euclidienne de n par 4 est égal à 0 ou 1. Certaines démonstrations donnent une méthode pour construire une telle suite lorsque la valeur de n convient.
Le nom de ces suites fait référence à Thoralf Albert Skolem (1887-1963), mathématicien et logicien norvégien.
Il est remarquable de constater que ces suites de Skolem que l’on peut représenter linéairement permettent aussi de respecter le même type de contrainte sur une représentation circulaire (la distance étant considérée comme celle étant la plus courte entre les deux occurrences d’un même entier le long du cercle).
Représentation linéaire de la suite de Skolem 3 5 6 3 8 4 5 7 6 4 1 1 8 2 7 2 : les chiffres 6 et 6 désignent les extrémités d’un segment de longueur 6.
Représentation circulaire de la même suite de Skolem 3 5 6 3 8 4 5 7 6 4 1 1 8 7 .
La question réciproque est intéressante : peut-on toujours « découper » une répartition de Skolem d’ordre n circulaire afin de la représenter linéairement ? Quelques éléments de réponse se trouvent sur un article de l’académie de Versailles.
Une suite de Langford est une variante des suites de Skolem où les occurrences de k sont distantes de k+1 (et non plus de k). Ces suites sont la base du travail de l’artiste Gerhard HOTTER : « En me basant sur le thème du jeu, j’explore dans mon travail le potentiel artistique et poétique dans les structures mathématiques. L’accent est mis sur l’utilisation de la séquence de chiffres Langford, dénommée ainsi d’après le mathématicien écossais Dudley Langford. Ils forment le matériau pour des créations visuelles complexes, parfois en série, ou des œuvres solitaires. Rythmiques, enchevêtrées ou superposées, les œuvres éveillent le regard sur la beauté claire de la mathématique. Elles créent un contrepoint méditatif à la volatilité flagrante de la vie quotidienne. »
Surprise proposée par Fabrice DESTRUHAUT