Des propriétés mathématiques permettent de calculer mentalement à une vitesse élevée ou à effectuer des déductions qui semblent défier la logique… et ressembler à de la magie ! Bon visionnage !

Surprise proposée par Houria Lafrance et Jean-Baptiste Aubin.

Références : Exposé intitulé « Mathématiques & Magie », Jean-Baptiste Aubin, vendredi 14 avril 2023, lors des conférences MIXIT à Lyon. Jean-Baptiste Aubin est maître de conférence en statistique à l'INSA Lyon et à l'Institut Camille Jordan, est passionné de médiation scientifique et a été directeur de la Maison des mathématiques et de l'informatique de Lyon.

Remerciements : Merci aux organisateurs du congrès pour la réalisation de cette vidéo et leur autorisation de l’utiliser dans le cadre du calendrier de l’avent.

Crédit image : page de la conférence sur Mixit

Paver une surface avec des tuiles c'est la recouvrir entièrement, sans trous ni superpositions.

Il y a des formes de tuiles qui peuvent paver un plan infini. Le carré ou l'hexagone régulier par exemple.

On dit qu'un pavage comme celui ci-dessus est périodique car il existe une façon de le déplacer en ligne droite, sans le tourner, qui redonne exactement le même pavage : si on superpose le pavage et le pavage déplacé, les deux images coïncident parfaitement.

Depuis les années 1960 on connaissait des jeux de tuiles (collections finies de formes) qui peuvent paver un plan infini mais uniquement de façon non-périodique. Les premiers jeux de tuiles de la sorte nécessitaient plusieurs dizaines de milliers de formes différentes. Ils ont été progressivement réduits et jusqu'à récemment, les meilleurs dataient des années 80 : ils ont 2 formes seulement, comme les pavages de Penrose.

Mais il a fallu attendre l'année 2023 pour que soit découvert un jeu d'une seule forme de tuile ayant cette propriété, qualifiée de monotuile apériodique. C'est le fruit d'une collaboration entre les personnes suivantes : David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, et Chaim Goodman-Strauss. Ils l'ont surnommé : le chapeau (the hat).

On pourra écouter un replay de 3mn France Info ou consulter une vidéo plus complète de 9 mn de Thomaths en français, ou encore la vidéo en anglais d'Up and Atom.

Vous apprendrez en particulier qu'ils n'ont pas découvert une seule tuile mais tout un tas de variantes, reliées les unes aux autres. Le spectre en est une.

Pour aller plus loin :

• Une activité, à partir de 4 ans, proposée par la journée internationale des mathématiques. Télécharger les instructions et les feuilles à imprimer sur papier de couleur.
• Pages web dédiées, en anglais, par les auteurs : An aperiodic monotile et A chiral aperiodic monotile.
• Articles scientifiques : An aperiodic monotile et A chiral aperiodic monotile.

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