Remerciements : Deeplawmath (ou Sébastien Kernivinen) remercie les personnes de son entourage, notamment Hervé Lebris (Pleumeur-Bodou) pour leurs échanges qui furent le point de départ de la création de cette énigme.

Première explication :
Regardons d’abord juste le cas de l’Auvergnat âgé de A_pr (présent) ans et du Breton âgé de B_pr ans.
La phrase implique que A_pr > B_pr. L'écart d entre l'âge des 2 personnes est constant : quel que soit leur âge, ils auront toujours d = (A_pr - B_pr ) années d’écart.
Plaçons ces âges sur l’axe des entiers :

* quand j'avais l'âge que vous avez

On peut la représenter aussi visuellement sur un axe temporel :

La phrase :

« Mon âge a est aujourd’hui le double de l’âge que vous aviez 2b-a quand j’avais l’âge b que vous avez aujourd’hui »

donne donc simplement la relation : a = 2 (2b-a), c’est à dire a = (4/3) b. On voit donc comment l’âge du « premier » se déduit de l’âge du « deuxième ».
Il vient alors :

a = 4/3 b
b = 4/3 c
c = 4/3 m

ce qui donne :

a = (4/3)^3 m
b = (4/3)^2 m
c = (4/3) m

C’est donc une suite géométrique de raison (4/3) et de premier terme m.
Comme a, b, c et m sont des nombres entiers, la première relation nous donne que m doit être un multiple de 3^3=27. Avec m=27, il vient a=4^3 = 64, b = 48, c = 36. Les autres multiples de 27 ne conviennent pas car avec le plus petit qui est alors m=27×2, on aurait a = 64×2 = 128 > 125.
La solution est donc (a,b,c,m) = (64,48,36,27).
On saisit 64,48,36,27.

Remerciements : Deeplawmath (ou Sébastien Kernivinen) remercie les personnes de son entourage, notamment Hervé Lebris (Pleumeur-Bodou) pour leurs échanges qui furent le point de départ de la création de cette énigme.

Première explication :
Appelons A l’âge (en années) du premier. Comme le premier dit au deuxième « quand j’avais l’âge que vous avez », il est plus vieux que le deuxième. Appelons d la différence d’âge entre le deuxième et le premier. « J’avais l’âge que vous avez » il y a d années. Il y a d années, votre âge était A – d et mon age actuel est A + d. Donc A + d = 2 (A – d), c’est-à-dire A = 3d.
Le premier et le second ont donc des âges de la forme 4d et 3d.
Réciproquement, si deux personnes ont des âges de la forme 3d et 4d alors l’âge 4d du second est bien le double de 2d, soit 3d – d, autrement dit, l’âge du premier il y a d années, c’est-à-dire « quand le second avait l’âge du premier ».
La déclaration de celui qui parle implique que l’âge A du premier est un multiple de 3 et l’âge A + d du second est un multiple de 4 ; précisément, on a successivement :
A = 3d (le premier parle au deuxième)
A + d = 4d = 3d’ (le deuxième est interpellé par le premier et il parle au troisième)
A + d + d’ = 4d’ = (16/3)d = 3d’’ (on passe de l’âge de l’un au suivant en multipliant par 4/3)
A + d + d’ + d’’ = 4d’’ = (64/9)d
En résumé, les âges (entiers naturels) des personnes du groupe sont de la forme ( 3d , 4d , (16/3)d , (64/9)d ).
Donc d est un multiple de 9.
Seule la valeur d = 9 est envisageable (car « moins de 125 ans ») et conduit à la solution : 27, 36, 48, 64 qui sont les âges, en années, des quatre personnes.
Le groupe d’amis est constituée de quatre membres au maximum car l’âge d’une 5ème personne dépasserait 128 (d = 18, a minima).


Deuxième explication :
1. De combien de personnes est formé le groupe au maximum ?
Notons a₁, a₂, .., a_n respectivement les âges du n-ième élément, du n-ième -1, ... du deuxième et du premier du groupe. Ici on a inversé l’ordre pour avoir les âges dans un ordre croissant.
Il est à noter que l’écart d'âge est un invariant.
On peut représenter la situation dans le tableau suivant :

La phrase :

« Cette année est exceptionnelle car mon âge a_i+1 est le double de l’âge que vous aviez 2 a_i - a_i+1 quand j’avais l’âge a_i que vous avez aujourd’hui »

donne simplement : a_i+1 = 2 a_i - a_i+1 et donc a_i+1 = (4/3) a_i.
C’est donc une suite géométrique de raison (4/3) et de premier terme a₁. On a donc l’expression explicite a_i = (4/3)^(i-1) a₁.
On peut avoir n=2, n=3, n=4 mais pas n>4.
En effet, comme les a_i sont des nombres entiers, la relation a_n = (4/3)^(n-1) a₁ nous donne que a₁ doit être un multiple de 3^(n-1) et l’on a alors au minimum a_n = 4^(n-1), ce qui donne 64 pour n=4 et 256 > 125 pour n=5.
Le groupe est donc formé au maximum de n = 4 personnes.
2. Quels sont les âges des personnes du groupe de 4 personnes ?
Avec a₁ =27, il vient a₄ =4^3 = 64, a₃ = 48, a₂ = 36. Les autres multiples de 27 ne conviennent pas car avec le plus petit qui est alors a₁ =27×2, on aurait a₄= 64×2 = 128 > 125.
La solution est donc (a₄,a₃,a₂,a₁) = (64,48,36,27).

Question bonus :
On dit qu’un membre du groupe est le « Passettefoa » d’un autre membre lorsque la somme de leurs âges n’est pas un multiple de sept. Est-il VRAI ou FAUX de dire : « Dans le groupe de personnes, chaque membre possède un unique Passettefoa et ce n’est pas la personne à laquelle il a parlé » ?

+ Voir la réponse :
Réponse : C'est VRAI.
Explication 1 :
Les sommes de deux âges consécutifs sont de la forme 3a + 4a = 7a i.e. des multiple de sept. De plus, la somme 27 + 64 = 13×7 est un multiple de sept alors que les sommes 27 + 48 = 75 et 36 + 64 = 100 ne sont pas des multiples de sept.
Explication 2 :
On peut remarquer que le terme de la suite géométrique s’écrit aussi (en prenant a₁ =3^3),
a_i = 4^(i-1)×3^(4-i).
La sommes de deux âges consécutifs est donc de la forme
a_i+1+ a_i = 4^(i)×3 ^(4-i-1) + 4^(i-1)×3^(4-i)
= 4 ^(i-1)×3^(4-i-1) [4 + 3]
= 4 ^(i-1)×3^(4-i-1) 7
qui est un multiple de 7.
De plus, la somme 27 + 64 = 13×7 est un multiple de sept alors que les sommes 27 + 48 = 75 et 36 + 64 = 100 ne sont pas des multiples de sept.
On peut résumer cela sur le graphe suivant :