Il y a plusieurs solutions mais elles ont toutes quelque chose en commun.

Nous présentons ici une solution astucieuse, rendue possible par le fait que prendre ou poser une banane ne coûte rien.

Elle consiste à ammener toutes les bananes sur l'arbre 1. On doit le faire en le moins d'allers-retours possibles, vu que chaque mouvement coûte 1 banane.
Avec un aller-retour je consomme 2 bananes et avec ma capacité d'emport de 10, j'emmène donc 8 bananes sur l'arbre 1. Il reste 20 bananes dans la caisse.
Avec un 2e aller-retour, j'ai consommé 2 bananes de plus, mis 8 bananes de plus sur l'arbre 1, et il reste 10 bananes dans la caisse.
Je les prends toutes et je vais sur l'arbre 1.
J'ai alors 8+8+9 = 25 bananes à disposition et la caisse est vide.
Puis je recommence. Avec 2 allers-retours plus un aller, je me retrouve sur l'arbre 2 avec 8+8+4=20 bananes
Puis je recommence. Comme il reste 20 bananes pas besoin de plus d'un allers-retours et d'un aller. Je me retrouve alors sur l'arbre 3 avec 8+9 = 17 bananes.
Puis je recommence. Je me retrouve alors sur l'arbre 4 avec 8+6 = 14 bananes.
Puis je recommence. Je me retrouve alors sur l'arbre 5 avec 8+3 = 11 bananes.
Là je peux emmener 9 bananes sur l'arbre 6 et je réalise que je n'ai pas intérêt à revenir chercher la bananes qui reste sur l'arbre 5 : je me retrouverais avec 8 bananes.
Du coup je file d'une traite jusqu'à la 2e caisse: comme il me reste 4 mouvements à faire j'arrive à la 2e caisse avec 5 bananes.

Cette soulution est optimale en terme de nombre de bananes ramenées à bon port (5) et de bananes mangées en tout (24). Par contre si on voulait également minimiser le nombre de fois qu'on dépose puis prend des bananes, voici une méthode plus efficace (mais je ne sais pas si elle est optimale en termes de nombre total d'actions) :

Faire 2 allers-retours plus un aller entre la caisse et l'arbre 2 en prenant 10 bananes à chaque fois. J'ai consommé 4+4+2=10 bananes et j'ai 6+6+8=20 bananes à disposition.
Puis faire 1 aller-retour plus un aller entre l'arbre 2 et l'arbre 5 en prenant 10 bananes à chaque fois. J'ai consommé 6+3=9 bananes et j'ai 4+7=11 bananes à disposition.
En laisser une sur place et filer avec 10 bananes à 2e caisse. On arrive avec 5 bananes et on en a mangé 24 au total, et laissé une en chemin. Comme pour l'autre solution. Mais on a moins souvent pris et posé de bananes.

On peut pousser l'analyse plus finement mais on ne le fera pas ici. Notons juste que, dans les 2 solutions proposées, la section depuis la caisse jusqu'à l'arbre 2 aura coûté au total 5 bananes par segment, le passage de l'arbre 2 à l'arbre 6 coûte 3 bananes par segment, et la fin une banane par segment.