Le dernier indice donne que le chiffre des unités est 2. En connaissant le chiffre des unités, on peut en déduire que le chiffre des dizaines est 2 × 2 = 4 et celui des centaines est 2 + 3 = 5. Le nombre recherché est donc 542.

On cherche donc quatre nombres consécutifs entre 00 et 99. L’idée est de se concentrer sur les premier et quatrième nombres. Comme le premier est divisible par 5, il finit par 5 ou 0, donc le quatrième finit par 0 + 3 = 3 ou 5 + 3 = 8. On dresse alors la liste de tous les nombres qui finissent par 3 ou 8 et qui sont multiples de 3 et on trouve les nombres en gras dans la liste suivante :

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 93, 98.

Ensuite on vérifie pour chacun des 7 cas si les deuxièmes et troisièmes nombres vérifient les conditions imposées.

En faisant ça, on remarque que dans les cas où le quatrième nombre finit par 3, le troisième finit par 2 et donc est divisible par 2. Pour qu’il soit premier, il faudrait qu’il soit égal à 2, mais dans ce cas le deuxième nombre est 1, qui est un carré. Donc le quatrième nombre finit par 8 et le premier par 5 : les trois possibilités pour le quatrième nombre sont donc 18, 48 et 78.

Dans le premier cas 18 − 2 = 16 est un carré et dans le troisième 78 − 1 = 77 n’est pas un nombre premier. Il ne reste donc que la suite de nombres 45, 46, 47, 48 qui fonctionne.

Le quatrième est divisible par 3 et les quatre nombres sont consécutifs, rangés par ordre croissant, donc le premier nombre est aussi un multiple de 3. Mais ce premier nombre est aussi divisible par 5, c’est à dire multiple de 5 : c’est donc un multiple de 15 plus petit que 99. Ça ne peut être que : 0, 15, 30, 45, 60, 75, et 90. Si on ne garde que ceux dont le troisième (on ajoute +2) est premier, il ne reste que 0, 15 et 45. Si on enlève ceux dont le suivant (on ajoute +1) est un carré, il ne reste que 45.

Commençons par essayer de trouver quel nombre se trouve en quelle position.

Sur une plage de quatre nombres consécutifs, on doit avoir deux nombres pairs et deux nombres impairs, et exactement un des quatre nombres est multiple de 4.

Notons

• p le nombre premier,
• c = n² le carré,
• t = 3m le multiple de 3 et
• q = 4k le multiple de 4.

Le nombre q est l'un des deux nombres pairs et les 2 nombres pairs diffèrent de 2, donc l'autre vaut q ± 2. Mais est-ce p, c ou t ? Remarquons tout d’abord qu’on ne peut pas avoir q ± 2 = p. En effet, q ± 2 est divisible par 2, ce qui ne peut pas être le cas de p qui est un nombre premier supérieur à 10. De même, q ± 2 ≠ c. En effet, si c’était le cas, on aurait 4k ± 2 = n² et donc 2(2k ± 1) = n². Comme c’est un carré pair, il doit être divisible par 4 et donc 2k + 1 doit être divisible par 2, ce qui est absurde. On en déduit donc que q ± 2 = t.

Ainsi q et t sont les deux nombres pairs, p et c les deux nombres impairs. Comme t est multiple de 2 et de 3, il est multiple de 6. Mais il n'est pas multiple de 4 car q est le seul multiple de 4 parmi les quatre nombres à trouver.

Remarquons ensuite que c ne peut pas être voisin de t. En effet, d'une part c = n² est impair donc n est impair puis par identité remarquable c − 1 = n² − 1 = (n − 1)(n + 1) est divisible par 4. Comme t est pair mais pas divisible par 4, on a c − 1 ≠ t.
D'autre part si on décompose n = 3a + r avec r < 3, on trouve que n² = 9a² + 6ar + r² = 3b + r², de sorte que le reste dans la division euclidienne de c = n² par 3 est soit 0, soit 1 (car 2² = 4 =3 + 1). Ainsi, c + 1 aura pour reste dans la division euclidienne par 3 soit 1 soit 2, donc ne sera jamais divisible par 3. Donc c + 1 ≠ t.

Les seuls ordres possibles sont donc t < p < q < c ou c < q < p < t. Mais le 2e cas est exclu car les nombres étant consécutifs, on aurait q = c + 1 or c + 1 ne peut pas être multiple de 4 (on a vu que c − 1 l'est). De plus, c est divisible par 3, car c − 3 = t est divisible par 3. Et c est impair. Le seul carré à deux chiffres et à la fois supérieur à 10, impair et multiple de 3 est c = 9² = 81. On vérifie alors que q = c − 1 = 80 = 4 × 20 est divisible par 4, p = c − 2 = 79 est premier et t = c − 3 = 78 = 3 × 26 est divisible par 3.

Les nombres recherchés sont donc 78, 79, 80 et 81.

On regarde en premier parmi les quatres nombres, celui dont la condition imposée donne le moins de candidats possibles. On trouve que les carrés parfaits entre 10 et 99 sont 16, 25, 36, 49, 64, et 81. C’est une liste assez limitée qui restreint la zone d’exploration. On sait donc que l’un de ces nombres est présent, mais on ignore sa position dans la suite de quatre nombres à trouver. Il peut être soit tout à droite et avoir 3 nombres consécutifs avant lui, soit être tout à gauche et avoir 3 nombres consécutifs après lui, soit être quelque part au milieu.

On écrit toutes les séquences consécutives de 7 nombres en plaçant le nombre au carré au centre :

13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28
33, 34, 35, 36, 37, 38, 39
46, 47, 48, 49, 50, 51, 52
61, 62, 63, 64, 65, 66, 67
78, 79, 80, 81, 82, 83, 84

Reste à examiner chaque séquence en repérant (pour les nombres autres que les carrés) les :

Décidément cette énigme m’en a fait voir de toutes les couleurs ! :)
La seule solution est 78-79-80-81 !