Réponse : 1741

Explications :

Léa est une collectionneuse de bijoux anciens. Elle vient d'en acquérir un très rare, mais ne connaît pas l'année exacte de sa fabrication. Les seules informations qu'elle a en sa possession sont les suivantes : si elle ajoute 23 à cette année, elle obtient un carré. Si elle lui soustrait 60, elle obtient aussi un carré. C'est d'ailleurs la seule année vérifiant ces deux conditions.

Méthode 1

Commençons par poser proprement le problème. Notons \(a\) l'entier positif qui correspond à l'année que nous cherchons. D'après les indications, nous savons qu'il existe deux entiers \(m\) et \(n\), qu'on peut prendre positifs, tels que : \[ \left\lbrace\begin{array}{l} a+23=m^2 \\ a-60 =n^2 \end{array} \right.. \] En combinant les deux lignes à l'aide d'une soustraction, on obtient l'égalité suivante : \[ m^2-n^2=83. \] D'une part, le terme de gauche figure dans l'identité remarquable \(m^2-n^2 = (m+n)(m-n)\). Donc \[ (m+n)(m-n)=83. \] D'autre part, \(83\) est un nombre premier, c'est-à-dire qu'il n'admet que deux diviseurs distincts : \(1\) et lui-même. Il n'y a alors que deux façon d'écrire le produit \((m+n)(m-n)\) : \[ \mathrm{soit}~\left\lbrace\begin{array}{l}m+n=83\\m-n=1\end{array}\right.,~~\mathrm{soit}~\left\lbrace\begin{array}{l}m+n=1\\m-n=83\end{array}\right.. \] Mais la 2e est impossible car \(m+n\geq2\). En prenant la première solution, on obtient \(m=42\) et \(n=41\). Par conséquent, en revenant au système de départ, on calcule \(a = 42^2-23 = 1741\) Un autre calcul confirme que \(41^2+60\) prend la même valeur donc \(1741\) est bien l'unique solution.

Méthode 2

On cherche deux carrés dont la différence est 60+23=83. Peut-être as-tu remarqué un jour la chose suivante : si tu prends les carrés successifs 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, etc. et calcule leurs différences successives 1, 3, 5, 7, 9, 11, etc. tu obtiens tous les nombres impairs. Si on admet ce fait, il existe forcément une paire de carrés successifs dont la différence est 83. Comme de 3 à 83 il faut sauter 40 nombres pairs et comme 3 est la différence entre 2² et 1¹, on s'attend à ce que 83 soit la différence entre 42² et 41². Un calcul montre que 42²=1764 et 41²=1681. La différence est bien 83. Quand à trouver un nombre satisfaisant les conditions de l'énoncé, il suffit de prendre le plus petit plus 60 (ou le plus grand moins 23), c'est à dire 1741. Comme l'énoncé nous dit en plus que la solution est unique, on a bien trouvé la réponse.

L'énigme est inspirée du livre « Les problèmes du Prof Ila Ransor. Rallye mathématique de Poitou-Charentes », APMEP Régionale de Poitou-Charentes, brochure APMEP n°1002 (2014)