Surprise du
3 décembre 2024

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La Maison Poincaré est un musée dédié aux mathématiques au sein de l’Institut Henri Poincaré à Paris. Parmi les nombreux dispositifs à manipuler ou à regarder se trouve un tableau de « colliers mathématiques », qui donne à voir quelques aspects de la théorie mathématique des nœuds. Parmi ces nœuds sous forme de colliers noués, celui de l’énigme bien sûr ! Le voyez-vous ?

On y voit aussi des nœuds « tricoloriables » (dont les perles sont de trois couleurs différentes : bleu, jaune, rouge). Ils ne sont pas nombreux parmi les nœuds premiers (c’est-à-dire qu’on ne peut pas décomposer en des nœuds plus simples) à 7 croisements au plus, qui sont tous représentés ici (sans leur miroir même lorsqu’il est différent : on parle alors de nœud « chiral », comme pour les molécules en chimie).

Deux nœuds plus compliqués sont aussi représentés  : le nœud de Conway et son «  mutant  » (cette expression a un sens mathématique précis) le nœud de Kinoshita-Terasaka. Ils sont ici parce qu’ils ont des propriétés particulières parmi les 552 nœuds à 11 croisements !

Le tableau montre pour chacun des nœuds présents son « polynôme de Conway ». C’est une expression algébrique qui se calcule par différents moyens et qui est invariante lorsqu’on manipule le collier sans l’ouvrir. Lorsque deux nœuds ont des polynômes de Conway différents, c’est forcément qu’ils sont différents. En revanche, c’est faux dans l’autre sens : les nœuds de Conway et de Kinoshita-Terasaka ont le même polynôme de Conway que le non-nœud (ce polynôme est réduit dans les trois cas au nombre 1), mais ils sont différents les uns des autres.

Surprise proposée par Sylvie Benzoni-Gavage.

Crédit image : Institut Henri Poincaré / Atelier Novembre, Du&Ma, Aveam, Sylvie Benzoni-Gavage

Infos supplémentaires :
Pour visiter la Maison Poincaré, voir le site https://www.ihp.fr/fr/musee-maison-poincare.