Réponse : 114, 387 ou 750

Explications :

Notons A et D les chiffres manquant : A25D est divisible par 11. D'après le critère de divisibilité par 11, cela arrive si et seulement si Autrement dit, cela arrive quand A+5 et D+2 sont soit égaux, soit diffèrent d'un multiple de 11. Comme A est compris entre 1 et 9, et D entre 0 et 9, A+5 est compris entre 6 et 14, alors que D+2 est compris entre 2 et 11, et la différence (A+5)−(D+2) est comprise entre -5 et 12, donc vaut soit 0 soit 11. Autrement dit les seules possibilités sont

• (a) A+5 = D+2 ou
• (b) A+5 = D+2 + 11.

Ce qui se réécrit respectivement

• (a) A+3 = D
• (b) A = D+8

On obtient alors les nombres A25B divisibles par 11 suivants  :

• (a) 1254, 2255, 3256, 4257, 5258 et 6259
• (b) 8250 et 9251

en se souvenant que A ne peut pas valoir 0.

On peut alors inspecter ces 8 cas un par un et voir lesquels donnent un nombre A25D divisible par 3. On trouve ainsi 3 possibilités: 1254, 4257 et 8250. En les divisant par 11 on trouve respectivement 114, 387 et 750.

---

Note : pour gagner un peu de temps vers la fin on pouvait exploiter le critère de divisibilité par 3, qui est pour A25D que A+2+5+D est multiple de 3.
Dans le cas (a), A+2+5+D se réécrit 2×(A+5). C'est multiple de 3 si et seulement si A+5 est multiple de 3 c'est à dire dans les cas A+5 = 6 ou 9. Autrement dit A=1 ou 4.
Dans le cas (b) soit (A,D)=(8,0) soit (A,D)=(9,1). Dans le premier cas A+2+5+D=15, dans le 2e A+2+5+D=17. Seul le premier convient.