Solution du défi

Réponse : 72

Explications :

Notons ab l'écriture décimale de l'âge du grand-père de Sophie. On va partir de l'hypothèse que cet âge s'écrit a0 en base b, avec 0 < a < b. On a donc l'égalité : 10a + b = a×b qu'on peut ré-écrire* (a−1)×(b−10) = 10 et comme les diviseurs de 10 sont 1,2,5 et 10, on a forcément a = 2, 3, 6 ou 11.

Le grand-père de Sophie a donc 72 ans.** On utilise-là les particularités de la langue française métropolitaine, car « septante-deux » ça ne marche pas.


*: Cette ré-écriture peut paraître astucieuse. Pour s'en passer on pouvait résoudre avec, par exemple, a pour inconnue : on trouve a = b/(b−10), qui est une quantité qui décroît quand b augmente. Comme a > 0 et b > 0, on a b > 10 et b ≤ 20 car au delà, a serait coincé entre 1 et 2. On regarde alors un par un les 10 valeurs de b entre 11 et 20 et celles donnant une valeur entière à a sont 20, 15, 12 et 11.

**: Notre raisonnement est incomplet. Nous avons trouvé une solution mais nous n'avons pas exclu tout autre possiblité. S'il y a d'autres solutions, on peut se demander si l'âge est raisonnable pour un être humain. Si vous en trouvez une, merci de nous écrire, nous serons ravis de vous publier !


Infos supplémentaires :

L'histoire derrière l'énigme : en 2016, à l'IMAG (Montpellier), une conférence anniversaire a été organisée à l'occasion des 60 ans (en base douze !) du regretté Jacques Lafontaine. Michèle Audin, qui vient de nous quitter, a commencé sa conférence en remarquant que "soixante en base douze" vaut "soixante-douze", et s'est demandé s'il existe d'autres nombres ayant la même propriété. La présente énigme traite cette question très oulipienne… pour la langue française, mais on peut se demander ce qu'il en est dans d'autres langues !

Nous vous proposons de voir ou revoir la vidéo de Michèle Audin (durée: 2mn) sur la vie de Sofia Kovalevskaya, réalisée par l'association Fermat Science.



Analyse plus poussée :

Notation pour l'écriture en base B

Pour distinguer les écritures en base 10 des écritures en base B, on va noter ces dernières abc[B].

Par exemple : 42=6×7, donc 42 s'écrit 60 en base 7, mais nous le noterons 60[7]. En base 5, on a 42 = 52+3×5+2 et on note 132[5].

42 = 60[7] = 132[5]

Pas assez de chiffres ?

Si la base est supérieure à 10, comme on n'a pas assez des chiffres décimaux pour tout noter, on ajoute traditionnellement les lettres A, B, C, etc après le 9. A vaut 10, B vaut 11 etc jusqu'à Z qui vaut 36. On les appelle encore "chiffres"… bien que ce soient des lettres. Par exemple en base 16, on utilise 0, 1, 2, … 9, A, B, C, D, E, F. Ainsi 42 = 2×16+10 s'écrit 2A[16].

42 = 2A[16]

Notons qu'il n'y a pas de prononciation standard pour ce genre d'écriture. Et si la base est supérieure à 36, il faudrait rajouter d'autres symboles (ou combiner des symboles existants).

Mais…

Sophie énonce comme un nombre en base 10 l'écriture en base B du nombre. C'est donc que cette écriture ne fait intervenir que des "chiffres" de 0 à 9. Donc:

Méthodologie

Notons B la base choisie par Sophie et A l'âge du grand père.

Tester tous les cas possibles pour les paires (A,B) (avec un âge raisonnable pour être grand-père d'un petit-enfant qui sait changer de base)… ça fait beaucoup de cas.

Il sera plus efficace de partir de ce qu'on a entendu :

  1. Pour tous les valeurs A raisonnables de l'âge, on voit si en prononçant A en base 10, on entend deux nombres juxtaposés (énoncés eux aussi en base 10).

    Exemples:

    1. Si A = 97 c'est que Sophie a prononcé « quatre-vingt-dix-sept » et ceci peut se décomposer de 2 façons en 2 nombres juxtaposés : « quatre-vingts, dix-sept » ou « quatre-vingt-dix, sept ». Autrement dit

      80[17] ou 90[7].

    2. Si A = 48 c'est que Sophie a prononcé « quarante-huit » qui se décomposer uniquement comme « quarante, huit », autrement dit

      40[8].

    3. Si A = 50 c'est que Sophie a prononcé « cinquante » mais ceci ne peut se décomposer comme ci-dessus.

  2. Pour chaque décomposition écriture[base] ainsi trouvée, on vérifie que chaque chiffre de l'écriture est strictement inférieur à la base.

    Exemple : avec A=97, l'une des décompositions entendues est 90[7], mais le chiffre 9 ne peut pas apparaître dans une écriture en base 7.

  3. Pour chaque décomposition écriture[base] valide, on calcule le nombre correspondant et on le compare au nombre A initialement entendu.

    Exemples:

    1. Notons que 80[17] = 8×17 = 136 et 90[7] n'est pas valide. Comme 136 ne vaut pas 97, l'hypothèse que l'âge du grand père vaut 97 est fausse.
    2. Sur le 2e exemple, 40[8] = 4×8 = 32 n'est pas égal à 48, donc l'âge du grand père ne peut pas être 48.
    3. Enfin l'âge du grand père ne peut pas être 50.

C'est parti

On choisit comme intervalle d'âges raisonnables 40 à 122 (âge maximal record validé).
A prononciation Décompositions
40 quarante aucune
41 quarante-et-un aucune
42 quarante-deux 40[2] non valide
43 quarante-trois 40[3] non valide
44 quarante-quatre 40[4] non valide
45 quarante-cinq 40[5] = 20
46 quarante-six 40[6] = 24
47 quarante-sept 40[7] = 28
48 quarante-huit 40[8] = 32
49 quarante-neuf 40[9] = 36
50 cinquante aucune
51 cinquante-et-un aucune
52 cinquante-deux 50[2] non valide
53 cinquante-trois 50[3] non valide
54 cinquante-quatre 50[4] non valide
55 cinquante-cinq 50[5] non valide
56 cinquante-six 50[6] = 30
57 cinquante-sept 50[7] = 35
58 cinquante-huit 50[8] = 40
59 cinquante-neuf 50[9] = 45
60 soixante aucune
61 soixante-et-un aucune
62 soixante-deux 60[2] non valide
63 soixante-trois 60[3] non valide
64 soixante-quatre 60[4] non valide
65 soixante-cinq 60[5] non valide
66 soixante-six 60[6] non valide
67 soixante-sept 60[7] = 42
68 soixante-huit 60[8] = 48
69 soixante-neuf 60[9] = 54
70 soixante-dix 60[10] = 60
71 soixante-et-onze aucune
72 soixante-douze 60[12] = 72
73 soixante-treize 60[13] = 78
74 soixante-quatorze 60[14] = 84
75 soixante-quinze 60[15] = 90
76 soixante-seize 60[16] = 96
77 soixante-dix-sept 60[17] = 102, 70[7] non valide
78 soixante-dix-huit 60 [18] = 108 , 70[8] = 56 *
79 soixante-dix-neuf 60 [19] = 116 , 70[9] = 63 *
80 quatre-vingts 4[20] = 4
81 quatre-vingt-un 80[1] non valide
82 quatre-vingt-deux 80[2] non valide, 4[22] = 4 *
83 quatre-vingt-trois 80[3] non valide, 4[23] = 4 *
84 quatre-vingt-quatre 80[4] non valide, 4[24] = 4 *
85 quatre-vingt-cinq 80[5] non valide, 4[25] = 4 *
86 quatre-vingt-six 80[6] non valide, 4[26] = 4 *
87 quatre-vingt-sept 80[7] non valide, 4[27] = 4 *
88 quatre-vingt-huit 80[8] non valide, 4[25] = 4 *
89 quatre-vingt-neuf 80[9] = 72, 4[29] = 4 *
90 quatre-vingt-dix 80[10] = 80
91 quatre-vingt-onze 80[11] = 88
92 quatre-vingt-douze 80[12] = 96
93 quatre-vingt-treize 80[13] = 104
94 quatre-vingt-quatorze 80[14] = 112
95 quatre-vingt-quinze 80[15] = 120
96 quatre-vingt-seize 80[16] = 128
97 quatre-vingt-dix-sept 80[17] = 136, 90[7] non valide
98 quatre-vingt-dix-huit 80[18] = 144 , 90[8] * non valide
99 quatre-vingt-dix-neuf 80[19] = 152 , 90[9] * non valide
100 cent aucune
101 cent-un 100[1] non valide
102 cent-deux 100[2] = 4
103 cent-trois 100[3] = 9
104 cent-quatre 100[4] = 16
105 cent-cinq 100[5] = 25
106 cent-six 100[6] = 36
107 cent-sept 100[7] = 49
108 cent-huit 100[8] = 64
109 cent-neuf 100[9] = 81
110 cent-dix 100[10] = 100
111 cent-onze 100[11] = 121
112 cent-douze 100[12] = 144
113 cent-treize 100[13] = 169
114 cent-quatorze 100[14] = 196
115 cent-quinze 100[15] = 225
116 cent-seize 100[16] = 256
117 cent-dix-sept 100[17] = 289, 110[7] = 56
118 cent-dix-huit 100[18] = 324, 110[8] = 72 *
119 cent-dix-neuf 100[19] = 361, 110[9] = 90 *
120 cent-vingt 100[20] = 400
121 cent-vingt-et-un 100[21] = 441
122 cent-vingt-deux 100[22] = 484, 120=[2] * non valide
* : pour certaines prononciations

On a trouvé la seule solution qui convienne (pour la France métropolitaine) qui est 72.

Ce type d'approche « force brute » peut paraître inélégant.

Nous avons regardé la prononciation des 83 nombres de 40 à 122. Avons obtenu 93 décompositions, dont 67 valides. Puis avons effectué 67 conversions vers la base 10.

On peut réduire le nombre de cas à étudier avec des remarques simples.

D'abord la base B ne peut pas être 10. Par exemple si Sophie a prononcé « soixante-dix », décomposé en « soixante, dix », alors 60[10] = 60 ≠ 70. Plus généralement L'âge est censé être simultanément le nombre décimal entendu en prononçant l'écriture sans la base et le nombre entendu en prononçant l'écriture suivi de « dix ». Ce n'est pas possible. Ceci permet de retirer 3 décompositions du tableau : 60[10], 80[10] et 100[10].

La remarque plus effective est la suivante : par un raisonnement analogue, la base ne peut pas être strictement inférieure à 10 non plus. Par exemple, 110[7] < 110 < 117. Ceci permet d'éviter 26 conversions. Cela permet également avec un petit argument supplémentaire* de dire que l'âge est forcément ≥ 70 et donc de commencer le tableau à 70.

* : l'argument doit justifier que la prononciation de l'écriture décimal d'un nombre A < 70 ne peut pas s'entendre comme la prononciation de deux nombres consécutifs avec le 2e > 10.

Reste 38 conversions.

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