Réponse : 2223

Explications :

On note $p$ la longueur de la piste exprimée en mètre.

Avant tout, rappelons le principe utilisé :

Comme les lutins courent à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle au temps.

Lorsqu’ils se rencontrent, ils ont couru pendant exactement le même temps $t$.

Ainsi, pour deux lutins A et B :

$$d_A=v_{A}t,d_B=v_{B}t$$

et en divisant :

$$\frac{d_A}{d_B}=\frac{v_A}{v_B}$$

Autrement dit :

Le rapport des distances parcourues lors d’une rencontre est égal au rapport des vitesses.

En appliquant ce principe aux trois rencontres, on peut organiser toutes les distances connues dans le tableau ci-dessous, et compléter directement la colonne donnant les rapports de vitesses :

Course	Distance de Lulu (m)	Distance de Tintin (m)	Distance de Milou (m)	Rapport des vitesses (proportionnalité)
Lulu vs Tintin	$988$	$p-988$	—	$\frac{p-988}{988}=\frac{v_{\text{Tintin}}}{v_{\text{Lulu}}}$
Lulu vs Milou	$855$	—	$p-855$	$\frac{p-855}{855}=\frac{v_{\text{Milou}}}{v_{\text{Lulu}}}$
Tintin vs Milou	—	$975$	$p-975$	$\frac{p-975}{975}=\frac{v_{\text{Milou}}}{v_{\text{Tintin}}}$

On peut noter que, nécessairement, p > 988 m.

En utilisant les rapports fournis par le tableau et en en associant deux de manière judicieuse, on obtient :

$$\[ \frac{p-988}{988}\times \frac{p-975}{975}=\frac{v_{\text{Tintin}}}{v_{\text{Lulu}}}\times \frac{v_{\text{Milou}}}{v_{\text{Tintin}}}=\frac{v_{\text{Milou}}}{v_{\text{Lulu}}}=\frac{p-855}{855} \]$$

Cette équation est équivalente à :

$$855(p-988)(p-975)=988\times 975(p-855)$$

Cette équation (polynomiale du 2e degré) a deux solutions : p=2600/3 et p=2223.

Mais la première valeur ne satisfait pas la condition p > 988 m. La longueur de la piste est donc de 2223 m.