Surprise du
15 décembre 2024

Un « carré latin » est un tableau de n lignes et n colonnes dont chaque ligne et chaque colonne doivent contenir une seule fois chaque chiffre compris entre 1 et n : un sudoku complété est donc globalement un carré latin d’ordre 9, mais qui possède en plus des propriétés liées aux carrés 3 par 3.

Imaginons maintenant qu’au lieu d’avoir un seul paramètre (le chiffre), nous en ayons deux (le chiffre et une lettre). On doit remplir ce qu’on nomme alors un « carré gréco-latin », avec les mêmes règles, mais pour les deux paramètres en même temps.

Une façon simple et très visuelle de représenter un carré gréco-latin est de découper chaque cellule de votre grand carré en un carré central et une bordure extérieure : les couleurs du carré central et de la bordure extérieure jouent ainsi le rôle du chiffre et de la lettre.

Le problème des 36 officiers et au-delà :

Mais est-il toujours possible, pour tout entier positif n, de construire un carré gréco-latin d’ordre n ? C’est en substance la question à laquelle tente de répondre Leonhard Euler autour de 1780 après avoir travaillé sur le problème dit des « 36 officiers ».

Prenez une assemblée de 36 officiers issus de six régiments différents, chaque régiment comportant six grades. Est-il possible de les mettre en rang selon un carré de six sur six, de telle manière que chaque ligne et chaque colonne comporte six grades et six régiments différents ? Il s’agit ni plus ni moins de construire un carré gréco-latin d'ordre 6 et le grand Euler n’y arrive pas !

Il démontre alors qu’un carré gréco-latin existe pour tout ordre n impair ou tout ordre n divisible par 4. Mais il conjecture qu’il est impossible de construire un carré gréco-latin d'ordre n si n est pair mais non divisible par 4… La suite lui donnera tort. Si le carré gréco-latin d’ordre 2 n’existe à l’évidence pas (essayez-donc avec A1, A2, B1 et B2), et si le carré gréco-latin d’ordre 6 n’existe pas non plus, ce qui ne sera démontré par Tarry qu’à la toute fin du 19e siècle, il existe bien un carré gréco-latin pour tous les autres ordres, comme le démontrèrent en 1960, Parker, Bose et Shrande.

Surprise proposée par Fabrice Destruhaut.

Crédit image : Domaine public, CC-BY-Attribution, images issues du site http://www.jlsigrist.com/carregrlatin.html

Remerciements :
Merci aux sites suivants dont certaines publications mentionnées ont inspiré cette surprise :

• Palais de la découverte : article « Formes mathématiques, carrément magique », par Guillaume Reuiller, Découverte n° 367, mars-avril 2010, pdf
• Bibmath : article « Euler et la magie des nombres », page écrite par Yoshi ...
• Pour la science : Introduction gratuite de l’article « Le problème des 36 officiers d’Euler devient quantique », Sean Bailly, Pour la science n° 540, 07 septembre 2022
• Pubmimath (publication de l'APMEP) : article « Les carrés magiques », B. Belouze, M. Glaymann, P.J. Haug et J.C. Herz, janvier 1975, pdf
• Site de Jean-Louis Sigrist : article « A propos des carrés gréco-latins », par Jean-Louis Sigrist