Observons des anneaux tourbillons: merci les volcans !

Commençons par observer de véritables anneaux tourbillonnaires, offerts ici par un phénomène naturel spectaculaire : les panaches du volcan Etna. Dans la vidéo suivante, les bouffées de vapeur expulsées par le cratère forment des anneaux quasi parfaits qui montent dans l’air en tournoyant.

Observons des anneaux tourbillons: merci Gaston !

Il est très fort, mais je doute qu’il puisse nous aider à trouver l’équation mathématique qui régit l'évolution de ce tourbillon !

Observons des bulles tourbillonnaires toriques: bravo les Dauphins !

Regardons maintenant un autre exemple tout aussi fascinant : des bulles toriques tourbillonnaires créées par des dauphins ! Ces animaux sont capables de générer sous l’eau des anneaux d’air qui sont des anneaux tourbillonnaires avec un cœur creux, et ils s’amusent même à interagir avec eux.

Dans cette vidéo, on observe des dauphins jouer avec ces bulles toriques, les manipuler et parfois même les déformer. Fait remarquable : tous les dauphins ne savent pas en produire spontanément, mais ceux qui maîtrisent la technique peuvent l’enseigner aux autres. De merveilleux pédagogues !

C'est quoi un anneau tourbillon ?

Dans de nombreux écoulements où les tourbillons jouent un rôle important, on observe que l’essentiel du phénomène tourbillonnant (la "vorticité") est concentré dans une région très mince de type « tube », appelée filament ou anneau tourbillonnaire. C’est dans le cœur de cette structure que les effets visqueux peuvent être significatifs. Sur l’image de gauche ci-dessous, on voit le mouvement tourbillonnant des lignes de flux autour de la fibre centrale circulaire d’un anneau tourbillon (le fameux « anneau de fumeur »). Lorsqu’il est circulaire, un tel anneau se déplace en translation, perpendiculairement à son plan.

Sur l’image de droite, la simulation montre cette fois deux anneaux tourbillonnaires. Leur interaction crée un mouvement périodique bien connu, appelé « saute-mouton » (ou leap-frogging en anglais).

Il est également connu que la vitesse d’un filament tourbillonnaire dépend de l’intensité avec laquelle le fluide tourne dans son cœur — la petite zone centrale où le tourbillon est concentré — intensité que l’on appelle sa circulation. Lorsque l’on modélise ce cœur par une ligne de rayon nul, autrement dit un « filet tourbillon », tout en conservant la même circulation, il devient plus simple d’obtenir (à des ordres négligeables) l’expression de la vitesse du fluide dans l’espace. Mais sur ce filet idéalisé, la vitesse du fluide — qui devrait pourtant nous indiquer comment le filament se déplace — devient infinie ! Autrement dit, on rencontre ici une singularité mathématique qui rend le calcul de son mouvement extrêmement difficile : il faut alors tenir compte de l’écoulement dans le cœur même du tourbillon et savoir le déterminer précisément. Ce sont précisément les mathématiques, qui se cachent derrière un phénomène physique que tout le monde peut observer, que nous allons explorer ici.

Séance de travaux pratiques: Do it yourself

Et si vous essayiez vous-même de créer des anneaux tourbillons ? Cette vidéo montre comment fabriquer de petits générateurs. Pas besoin de comprendre l’anglais pour suivre : on voit clairement comment le dispositif est construit et le résultat de son utilisation. L’effet est encore plus spectaculaire dans l’eau, surtout avec un peu de colorant.

Je m'y suis déjà essayé avec une peau de ballon gonflable, une cartouche d’encre et un tube plus petit que celui de la vidéo : ça fonctionne très bien. Mais pour un essai encore plus simple, même dans votre évier, laissez tomber une goutte d’encre à la surface de l’eau. Surprise : au lieu d’une tâche ou d’une boule colorée, elle forme ... un anneau ! Il descend par sa propre inertie, pas par gravité, mais dans ce cas, il est impossible de contrôler la vitesse ou la direction.

Mais alors, où les maths sont utiles ici ?

Après avoir observé et même créé vos propres anneaux tourbillonnaires, vous vous demandez peut-être comment tout cela fonctionne. Dans cette vidéo, Evelyne Miot, chercheuse au CNRS et directrice de mathdoc, nous explique comment elle étudie mathématiquement ces phénomènes physiques et à quoi ça peut servir.

Comment trouver l'équation d'évolution d'un anneau tourbillon de forme quelconque ?

Mais alors, depuis le début de cette surprise du calendrier, une question demeure : comment trouver l'équation d'évolution des anneaux tourbillons de forme quelconque? Comment l'extraire des équations de Navier–Stokes, à la base de la dynamique des écoulements ? Pour y répondre, tournons-nous vers l'histoire du Professeur Lu Ting, dont les travaux ont ouvert la voie à la compréhension mathématique de ces phénomènes fascinants.

Le professeur émérite Lu Ting (1925–2025) était [1] [2] un mathématicien et physicien de renommée internationale, célébré pour ses contributions majeures à la dynamique des tourbillons, à la modélisation mathématique et à l’analyse asymptotique. Né en Chine en 1925, Lu Ting est arrivé pour la première fois à l’Université de New York en tant que doctorant, où il a soutenu sa thèse sur l’aérodynamique des explosions en 1951 (sous la direction de H. F. Ludloff — lui-même ancien étudiant de Ludwig Prandtl). Il a effectué l’ensemble de sa carrière d’enseignement au Courant Institute of Mathematical Sciences, encadrant au total seize doctorants au fil des années, avant de prendre sa retraite, en 2002. Ses recherches sur les écoulements dominés par les tourbillons et sur la mécanique des fluides ont eu des applications importantes dans divers domaines de la physique et de l'ingénierie. Il n'a cessé d'être en quête de savoir, de faire preuve de son génie créatif et de cultiver son amour pour la résolution de problèmes complexes. L’héritage de Lu Ting est immense, laissant un impact durable sur notre communauté académique.

Revenons à notre question: comment déterminer l’équation qui gouverne le mouvement d’un tourbillon ?

Après des calculs complexes, pour une très petite épaisseur, le terme dominant du mouvement se révèle proportionnel au logarithme de l’épaisseur du cœur tourbillonnaire, avec un mouvement induit selon la binormale à la courbe (la normale au plan du cercle pour un tourbillon circulaire), et une vitesse proportionnelle à sa circulation et à sa courbure (l'inverse du rayon local) en chaque point du filament. Toutefois, pour des valeurs physiques petites mais réalistes de cette épaisseur, ce logarithme est de même ordre de grandeur que d'autres termes dits « d’ordre 1 ». Il doit donc être complété par ces contributions afin d’obtenir une équation physiquement correcte, tout en continuant à négliger uniquement les termes d'ordre supérieur, qui restent effectivement négligeables. Tout l'enjeu consistait à identifier exactement ces termes d'ordre 1 tout en tenant compte de la dynamique réelle du champ des vitesses au cœur du tourbillon.

Résoudre cette singularité et obtenir une expression rigoureuse issue des équations de Navier–Stokes constituait un défi majeur. Lu Ting et A.J. Callegari apportent la réponse dans leur article scientifique de 1978 [3] en appliquant la méthode, alors récente, des développements asymptotiques raccordés. S’appuyant sur les travaux antérieurs de Friedrichs sur la couche limite de Prandtl, cette méthode — en tant qu’outil systématique pour l’analyse des problèmes de perturbation singulière — a été développée à la fin des années 1950 par Kaplun, Lagerstrom, Cole et Van Dyke, et appliquée pour mieux comprendre, d’un point de vue mathématique, les singularités de la couche limite de Prandtl [4], [11]. Le concept de couche limite avait été formulé en 1904 par Prandtl, à partir d’observations expérimentales révélant l’effet du frottement visqueux au voisinage des parois. Même si, dans le tourbillon, il n’y a pas de paroi, les effets visqueux se concentrent également dans le cœur étroit du tourbillon, et l’on se trouve, comme on l'a vu, aussi en présence d’une singularité. « Cela suggère que les développements asymptotiques raccordés peuvent être utilisés pour étudier de tels écoulements », comme le soulignent les auteurs en première page de leur article [3]. Grâce à cette approche — à laquelle il fallait penser — et après avoir mené des calculs complexes en géométrie différentielle sur des coordonnées adaptées, c’est en 1978 que le cas d’un tourbillon fermé de forme arbitraire a enfin pu être résolu. Des tentatives antérieures existaient, mais elles reposaient sur des méthodes moins rigoureuses et leurs équations ne satisfaisaient pas la condition de compatibilité de l’écoulement intérieur mise en évidence par l’article [3]. Bravo Professeur Ting : ce travail peut être vu comme un complément à l’étude pionnière de Poincaré sur les tubes tourbillonnaires [10].

Est-ce la fin de l'histoire ? Pas du tout :

La filiation scientifique de Lu Ting s’étend désormais sur plusieurs générations. Ses nombreuses publications sur la mécanique tourbillonnaire ont été rassemblées dans une monographie [5], coécrite avec ses jeunes collaborateurs, eux-mêmes devenus professeurs.

Son héritage va des chercheurs établis jusqu’aux jeunes scientifiques d'aujourd'hui, encadrés notamment par le Pr R. Klein, ancien collaborateur devenu professeur, et qui poursuivent ses travaux : ajout d’effets de gravitation à l’équation pour étudier l’évolution des tornades [6], ou pour des recherches sur la turbulence [7].

C’est ainsi que progresse la science : grâce à ce travail collectif d’imagination, de rigueur et d’échanges, reliant les générations passées aux générations présentes et futures dans le vaste monde des idées fécondes.

---